本文从独特的地方视角，进入16～19世纪徽州数学爱好者们的世界。在这个可以折叠为两段的世界中，前一段他们的计算兴趣首先来自置身其中的热闹的商业生活，也与政府行政管理中涉及人口、土地面积、赋税的数字息息相关。后一段是与西方天文历算的相遇，他们的关注点从实用数学转向天文历算，不得不面对传统宇宙观之下历数的深深困惑。书写这一群体的成就，体味其生活情味、政治情怀、梦想和失败，是将历史与现实联系起来的最真切的方式。
一
一五七三年前后，一位商人结束了半生漂泊，回到他位于徽州府休宁县的家乡。像千千万万的徽州男性一样，他老早就出去做生意，足迹遍及湖广、江南。在漫长的商业生涯中，他始终保持着自己最深的爱好：数学。
这位徽商名叫程大位（一五三三至？）。他自幼就对数学感兴趣，经商期间更遍访名师，广搜数学著作，积累了许多资料。回到故乡之后，程大位用二十年时间编成一部十七卷的数学书，于一五九二年出版，题名《直指算法统宗》。日后，《算法统宗》被反复翻刻、重编、引用。它在数学世界里的地位，就如同四书五经在科举世界里的地位一样。
《算法统宗》书影
以今天的眼光来看，《算法统宗》较少涉及高深的数学讨论，主要内容是日常生活中的计算。按照《九章算术》的古老传统，这些计算仍被分为方田、粟布、均输等九类，不过程大位一生经历的嘉靖、隆庆、万历三朝，正是历史的转折时期，数学书的旧瓶子，也装满了新酒。比如卷二这道题：“假如今有赵钱孙李四人同商，前后付出本银。一、赵于癸亥年正月初九日付出本银三十两，二、钱于乙丑年四月十五日付出本银五十两，三、孙于丙寅年八月十八日付出本银七十两，四、李于丁卯年十月二十七日付出本银九十两。四共本银二百四十两。至戊辰年终，共得利银一百二十两，问各该利银若干？”合伙经商、本利分摊，对于徽商来说是必然会遇到的计算。
商业并不是《算法统宗》的唯一关注，政府行政中的数学占据了更大的比例。程大位生活的时代，最大的“政治”要属一条鞭法的展开，改革的举措，诸如清丈土地、赋役折银等等，无不涉及巨大的计算量。例如，百姓担负的徭役，原本要按照户等指派百姓亲身应役，后来这些徭役逐渐折钱、折银，再由官府雇人充当；田赋原本征收本色，即粮食等实物，后来大部分也转变为折银，这被称为“赋役货币化”。既然折银，必然要确定折银的数额、等次、依据等等，涉及定额、排序、分配诸多计算。学者早已指出，一条鞭法催生了大量文书、票据，这些凭证上最重要的内容就是数字，包括但不限于人口、土地面积、税负等等。
《算法统宗》里的幻方
延续几十年的赋役改革，伴随着海量的数据生产与数据交换。这种背景下，像卷二这种简单的题目，已经不能应付实际行政需求了；能做出卷九所列更复杂的题，可能才勉强够格去做书吏。当然，行政数学中最多也最重要的计算，应属丈量土地，即“方田”。一五八一年，就在《算法统宗》编写过程中，清丈在徽州展开。《算法统宗》卷三“方田”部分纠正、发展了前辈数学家的方法，画出了几十种土地形状，各自说明如何将它们化约为方、直、圭、梭、梯、斜及圆、碗、环各种，再加以计算，可称穷形尽相，堪称丈量土地的算法指南。
丈量土地常用的工具是步弓，是一种形似弓的测量工具，一弓就是一步，一步五尺，三百步为一亩。但步弓使用起来麻烦，积少成多之后误差也比较大，程大位发明了一种步车，《算法统宗》详细画了图纸，两旁还用篆书写着：“宾渠制就心机巧，隶首传来数学精。”相传黄帝的史官隶首发明了数学，宾渠则是程大位的号，他把自己跟隶首放在一起，足见自豪。程大位的步车实质上是一种大型卷尺，他也因此被称为卷尺之祖。
在这一卷的末尾，程大位暗暗塞进去一篇《亩法论》。文中说，“前贤亩法”以二百四十步为一亩，万历九年清丈时，休宁县的总书（书吏首脑）擅自改变成法，将田分为四等，上等一百九十步为一亩，中等二百二十步，下等二百六十步，下下等三百步，其他不同用途的土地也都各有等次。程大位说，就算田地有厚薄、征役有轻重，也应该“就土田之高下，别米麦之多寡”，而不应该玩弄数字，在统计上做文章。
《亩法论》后面，又加了一道奇怪的题目：“原用古弓，每步五尺，今以钞弓校之，只有四尺八寸。问古弓百步，该钞弓若干？”就数学而言，这道题无比简单，却被放在卷末压轴。在卷四“粟布”部分，程大位编了一首《官粮带耗歌》，说“官粮带耗在其中，一石例加七升同”，将一石七升的加耗作为惯例记录下来，后面还列了四道题。考虑到加耗是地方官贪墨的重灾区，这样的记载也很有意味。如此看来，《算法统宗》又何止是一部数学书。
二
《算法统宗》的计算工具是算盘，书中总结了不少算盘的用法和口诀，并首次记录了用算盘开方的方法。算盘发明的时代还有争议，但它的广泛普及则可确定，就是在程大位生活的时代，《算法统宗》在其中起了很大作用。算盘和珠算流行的背景，是社会生活的计算量在飞速增加。
赋役货币化实际上是一个更大的历史进程的一部分：在所有社会活动中，货币化的程度都加深了。随着美洲及日本白银的涌入，白银在中国历史上第一次作为政治与商业的主流货币，与铜钱一起为社会提供流通性。货币经济同时也是数字经济——这里的数字不是digital，就是“数目字”的意思。以物易物的语境中，物品和物品直接比较，运用之妙，在于一心，而货币经济之下，商品需要先转化为数字，才能完成交易。有数字就必然会有计算，用到数学。
徽州文书中所见的大量民间组织，也必须用到数学。比如，村里的石桥需要维护，几个人结成路桥会，各自捐一点钱，拿出去借贷生息，形成一个小型基金，盈余用来修桥；还比如，有人需要用钱，召集一个钱会，亲朋好友凑钱给他，再从许多种还本付息模式中选择一个，每年定期轮流收付款；还有，家族的义田需要经营，租佃、买卖、分割等等，诸如此类都要计算。更不用说，一切契约、账簿也都以数字为中心。可以说，一个商业社会必然也是一个数学社会。
明代徽州土地产权变动和管理文书
日后，明代数学背负了与世界脱节的历史责任。关于明代数学的衰落，徐光启有个著名的说法。他说算数之学只是在“近世数百年间”才退步，原因有二：一是“名理之儒，土苴天下之实事”，理学家鄙视实用之学；二是“妖妄之术谬言数有神理，能知来藏往，靡所不致”，另外一些人则把数学神秘化、宗教化。这个说法当然深有见地，不过《算法统宗》的流行似乎还表明另外一个原因，即实用计算的巨量需求，驱使数学头脑忙于应付现实问题。换句话说，与徐光启的看法相反，正是丈量土地、商业运转等“天下之实事”，将数学局限于日常计算。
实际需求推动科学进步，本是世界通例。在程大位的时代，三角几何学正在欧洲蓬勃兴起：就在程大位出生的一五三三年，雷吉奥蒙塔努斯（一四三六至一四七六）的正弦余弦函数表出版；而在程大位写作《算法统宗》之时，巴塞洛缪·皮提斯卡斯（一五六一至一六一三）也在写作他的《三角几何学》，书中首次提出了“三角学”这个名词。这两位都是德国天文学家、数学家，他们的研究很大程度上出于航海与地图绘制的需要。只不过，行政管理和商业计算，与航海、制图需要的是不同的数学。
《算法统宗》出版的时候，传教士利玛窦已经在中国活动整整十年了。很快，西洋的新数学与天文历法一起传入中国，引起持久的讨论，成为明末清初近百年文化史的焦点，而引起这个焦点最后爆发的也是一位徽州人，他就是大名鼎鼎的杨光先（一五九七至一六六九）。
（明）徐光启、李天经《西洋新法历书》
杨光先出生在徽州歙县，他家世袭新安卫中所副千户。人到中年之后，杨光先遵父命将职位让与弟弟承袭，自己到京城去做生意，很像是徽州人的常见人生轨迹。不过到北京之后，他很快转而积极参与政治，多次以布衣身份弹劾臣僚，时间甚至跨越明清两朝，又跟一般徽州人大不相同。
康熙三年（一六六四），杨光先上疏抨击西教西历，掀起康熙历狱，是中外交流史上的里程碑事件。弹劾成功后，杨光先被任命为钦天监监正。他屡次辞任，理由主要是自己不具备历算能力，所谓“止知历理，不知历数”，他说的“历理”，主要是历法背后的文化正统和政治秩序，换句话说，杨光先懂政治不懂业务，只红不专。果然，他上任以后，出现多次工作失误，到康熙七年（一六六八），传教士与杨光先实测赌赛，杨光先及其下属全败，西人和西历重回钦天监。
（清）徐扬《日月合璧五星连珠图卷》里所画的北京古观象台
但再不懂，杨光先也不可能对天文历算一无所知。作为军事世家，中国传统军事教育就包含天象、星占方面的内容；他在徽州生活了四十来年，本身也曾从事商业，多少也有些数学基础。只是在需要“测天”的时候，这些可以用于“量地”的基础算术既无招架之功，更乏还手之力罢了。
杨光先的失败有一个始料未及的后果。雍正帝记录的《圣祖仁皇帝庭训格言》保存了一段康熙帝的回忆：“尔等惟知朕算术之精，却不知我学算之故。朕幼时钦天监汉官与西洋人不睦，互相参劾，几至大辟。杨光先、汤若望于午门外九卿前当面赌测日影，奈九卿中无一知其法者。朕思己不知，焉能断人之是非，因自愤而学焉。”康熙皇帝一生的数学兴趣，确实跟一个不怎么懂数学的徽州人有关系。
杨光先赌赛失败，被判处死，康熙帝宽宥他，令他罢职还乡。但杨光先没能活着回到徽州，才走到山东德州就病死在大运河上了。杨光先去世的这一年，清代最重要的数学家梅文鼎（一六三三至一七二一）已经年近不惑，但还只是地方上一个普通的数学爱好者。
梅文鼎不是徽州人，不过他出生在徽州东邻宁国府宣城县南乡柏枧山口坐吉村，与徽州同属皖南，地域相邻而文化接近。梅文鼎小时候就跟他的父亲和塾师夜观天象，后来又与两个弟弟梅文鼐、梅文鼏一起向同乡道士倪正学习天文历算。康熙历狱在北京如火如荼的时候，梅文鼎在宣城看到倪正的一本《捷田歌括》，不久自己也写了一本《方田通法》，不用说，都是丈量土地的应用题集。虽然也学过历法，不过这时候梅文鼎的知识仍只限于中历，要到康熙十四年（一六七五）去南京乡试时看到回回历法和传教士带来的西学书，他的测天之术才得以进展到另一层次。梅文鼎在数学史上声名显赫，《畴人传》称其为“国朝算学第一”，大概没有争议。他对西学的接受和发扬，也推动了清代以西法测天的数学潮流。
一七二一年梅文鼎去世。三年以后，戴震（一七二四至一七七七）出生在徽州休宁县隆阜村。他出身徽商家庭，少年时也曾一样出门学徒。戴震的治学先从数学开始，第一部作品名为《筹算》，作于二十二岁，后来改题为《策算》。筹算、策算都是用算筹来计算，是一部算学书。
二十六岁时，戴震写了一封《与是仲明论学书》，堪称他一生为学纲领，其中提到研究经典的难处及入手途径，第一条就是“诵尧典数行至‘乃命羲和’，不知恒星七政所以运行，则掩卷不能卒业”，最后一条又提到“中土测天用勾股，今西人易名三角八线”云云，两处跟数学有关的学术理想都是测天。一七七三年，戴震入四库馆，负责分校算经诸书。戴震入京时，衣服行李都未带齐，仅仅“挟策入都”，这里的“策”可能说的就是算筹。关于戴震的算学成就，我们只需举出《畴人传》的说法就可见一斑：“盖自有戴氏，天下学者乃不敢轻言算数，而其道始尊。”
（清）阮元《畴人传》书影
戴震的数学最早是从江永（一六八一至一七六二）那儿学的。江永是婺源人，今天划归江西，明清一直属于徽州。江永的数学则来自梅文鼎，他最重要的数学著作就题作《翼梅》，意为梅文鼎之羽翼。在江永门下，除了戴震之外，金榜、程瑶田等人都有历算著作传世。钱穆《近三百年学术史》讲到梅文鼎、江永、戴震等人，说“当时徽、宣之间，好治天算格致之学，其来已旧”，说的就是徽州、宣城的这批关注天文的数学家。
三
“测天”的兴趣一旦传开，就不是“量地”的数学所能限制的了。江永、戴震以后，徽州的数学家们热心讨论的，就都成了天文历算问题。
一七九八年，戴震去世已经二十年。这一年秋天，徽州歙县瞻淇村的汪莱（一七六八至一八一三）去南京参加乡试，结果没考中，回来以后心情郁闷。他的同乡好友巴树谷为了开解他，出了一道数学题给他，汪莱一时没做出来。第二年秋天，巴树谷次子夭折，内心苦痛，汪莱想要安慰朋友，想起还有一道题，就花三千字篇幅演算了出来，希望能转移一下朋友的注意力。这道题的关键环节，如果用今天的数学语言翻译出来，就是：假设已知一个角度的正弦，问如何求得这一角度五分之一角的正弦。
汪莱后来著成《衡斋算学》七卷，这道题的解法成为这部书的第三卷，卷首的小序交待了上面的这段情谊。与此相类，《衡斋算学》每卷都有一段小序，每段小序背后都有一段故事。
《衡斋算学》书影
第一卷小序说，丙辰（嘉庆元年，一七九六）仲冬，巴树谷请他推求“黄赤之交变，寻弧角之比例”，黄道和赤道的角度问题是天文历算的基础，数学上属于球面三角学。他试了多种方法，左试右试不得要领，最后放弃成法，另辟蹊径，才得以“通法定例”，寻出解法。巴树谷一见，“为之鼓掌”。
第二卷跟另一位歙县同乡江玉有关。小序说，汪莱初识江玉时，江玉就给他出了一道“以勾弦和与中容求诸数”的题目，是勾股面积方面的问题。这类题目梅瑴成、丁维烈已经提出过两种解法，汪莱认为他们算的都不对，但当时他“思绪不来”，被江玉大大鄙视了一番。直到嘉庆三年（一七九八）春天的一个雨夜，他与巴树谷再次参详，才想到解法。刚好隔日江玉来，看到汪莱的演算，大家相视而笑。
第四卷接续第一卷的主题，继续探讨球面三角。小序说，“算师”总在研究算学，以防被弟子带来的难题给难住。嘉庆四年（一七九九）夏天，汪莱的同族汪应镛出游，想要带几道难题去找“算博士”踢馆，来找汪莱帮忙。汪莱觉得，最难的数学就是球面三角，“穷形固难，设形亦难，稍不经意，动乖其方”，就把他在这一领域的心得写成一卷，加上以前写过的《递兼数理》，交给汪应镛去“广赠算师”。
嘉庆六年，汪莱到扬州，在翰林秦恩复家中教馆。在扬州，他与当地学者江藩、焦循等人过从甚密，前后两月。临别之际，他与江藩探讨数学，内容后来成为《衡斋算学》第五卷，专论方程式的根是否“可知”的问题（所谓“可知”，指的是方程有一正根；“不可知”，指的是无正根或有一个以上正根）。
离开扬州之后，汪莱前往湖南，作南岳之游。途中遇到连阴雨，三昼夜不能上路，他只能做题排解寂寞。题目延续第三册的思路，改求三分之一角的正弦。与他同行的有一位同族本家，一位仆人和他的儿子，车夫二人；一同躲雨的，还有“说因果一人、弄幻术三人、女媒一人、车夫二人”，这几位“或歌或叹、如梦如痴”，汪莱思念起朋友巴树谷，他也在想我吗？做朋友给出的数学题，是他思念朋友的方式。这是第六卷。
与汪莱关系最密切的巴树谷，是歙县渔梁人，金石学家、篆刻家巴慰祖之子，道光《歙县志》说他书画有父风、兼通音律，有些印学著作会提到他的名字。一见面就给汪莱出难题的江玉，地方志只说他做过溧水教谕，事迹一字不存。拿着球面三角的题目到处踢馆的汪应镛倒是在《歙县志》里有一篇小传，内容是他出任四川泸州州判时，如何纠正当地土司的僭越之举云云，其中不但没有数学，连相关的天文历算或音律也一概没有。但这些人最为关心的三角学问题，也是测天所必备的数学知识。
四
因为商业的缘故，徽州人的足迹遍及大半中国，尤其是新安江到大运河南段，即徽州—杭州—苏州—扬州一线，既是明清时期的商业中心地带，也是徽州人分布最为集中的区域。出身徽州的数学家在这些地方的活动很多，这些地方的数学家也多与徽州人有关。即如汪莱，《衡斋算学》中相当部分都源自他在扬州的交往。汪莱还和李锐（一七六九至一八一七）、焦循（一七六三至一八二〇）被称为“谈天三友”，另外两位中，焦循是扬州人，因为年幼时在经学老师的家里见到梅文鼎的著作，从此习算，他的几种数学书合刊为《里堂学算记》。李锐是苏州人，小时候在学塾中偶然翻出《算法统宗》，因而燃起数学兴趣，日后他除了个人的学术建树之外，还参与了《畴人传》的编纂。
在扬州，汪莱住在翰林秦恩复家中。秦恩复的外甥罗士琳（一七八三至一八五三）本是徽州歙县人，长居扬州，这时得以从学于汪莱，转向天文历算之学，后来他还编了《续畴人传》六卷。汪莱在扬州还与另一位歙县人郑复光（一七八〇至？）多有往还，郑复光同样热衷于演习天算，后来致力于光学，著成光学著作《镜镜詅痴》，还制出了中国第一台天文望远镜。
自大历史的眼光来看，前面提到的人物都各有标签。但从徽州地方社会的角度视之，他们都生活在一个商业气息浓厚的地方，都与徽商有密切的联系，甚至不少人本身就是徽商，在噼里啪啦的算盘声中，逐渐升腾起色彩多样的数学梦想。在他们或深或浅的数学人生中，有率真纯粹的一面，也都背负了额外的期待。
以杨光先为界，徽州的数学世界呈现出两种不同的面貌。杨光先之前，是程大位的时代，以本土流传的实用数学为主，平面面积、简单方程应用最多；梅文鼎之后，是江永、戴震、汪莱们的时代，受到西学强烈影响，重在天文历算，三角函数是最受关注的内容。杨光先之前，数学头脑们背负的使命是实用计算，应用的领域首先是行政管理，然后是商业。杨光先之后，因为新的天文历算挑战了中国传统的宇宙观假设，困扰数学家们的问题也随之升级了。
梅文鼎、戴震出于不同的理由，都倾向于证明数学和历算领域的“西学中源”，曾广受现代学者的议论。汪莱也表达过他的困惑：虽然黄赤道交变的数学问题解决了，但“仰观星宿，推步盈虚，历数算计，皆所不应”，计算结果跟观测结果无法对应，汪莱对此十分不解，其根源大概就在于他仍相信传统的宇宙模型，当然就和数学计算的结果不能相容。
今年是戴震诞生三百周年。几个月前我到徽州拜谒戴震墓，发现从戴震故居（今属黄山市屯溪区）到程大位故居（同属屯溪区，这里今天建了一座珠算博物馆），车程十几分钟而已；再到汪莱的歙县瞻淇村，车程半个小时。从瞻淇村向西十来分钟，可到巴树谷的家，今天以他更著名的父亲命名为巴慰祖故居。其他如杨光先、江玉、汪应镛、郑复光等，无论是否还有故居可以指认，总归都住在一个较小的地理范围之内。区区百里之内的一个区域，见证过数学史的辉煌、数学家们的情谊，也隐藏了数学发展道路上的不能承受之重。